课程笔记 · 07

7. Wannier 轨道与降维投影

本课位置： 第 7/10 课。先完成前一课的推导；使用下方练习检查理解。

1. 目标与假设

Wannier 函数把 Bloch 能带与局域轨道联系起来。先在每个波矢的选定能带子空间内作酉变换，再进行傅里叶变换。不同规范可产生不同轨道形状和跳跃范围，却保持被表示的能带。因此局域化是精心选择的表示，不是唯一原子轨道的额外实验测量。

孤立能带组在各波矢处维数固定；纠缠能带则需从较大窗口选择平滑子空间。外窗口与冻结窗口会影响所得模型。应在独立波矢点比较插值能带和轨道性质，不能只在训练网格上判断。平滑规范帮助局域化，但在强制某些对称条件时，拓扑障碍可能使完全局域表示复杂化。

降维投影可以通过分块代数消去不关心的自由度。将系数分为保留的 A 区和消去的 B 区，先由 B 方程求出 cB，再代回 A 方程，得到依赖能量的有效哈密顿量。若目标远离被消去能级，可以围绕参考能量展开并得到近似能量无关模型。如果靠近消去态的共振，矩阵逆变大，低能近似会失败。

选择子空间后再截断实空间跳跃，是另一层独立近似。应检查跳跃范围收敛，并保证正反向矩阵的厄米关系。复现本征值对许多用途是必要条件，却未必足以保证全部观测量：跃迁矩阵元、Berry 相位和位置算符也需要一致变换。窄窗口内准确的模型，不能未经验证就外推到高激发或显著变化的结构。

2. 逐步推导

逐行阅读等式及其假设。DFT 方程默认采用原子单位，另有说明除外；紧束缚参数保持明确能量和长度单位。匕首表示共轭转置，坐标上的撇号表示独立积分变量。

\[ \begin{aligned} |w_{n\mathbf R}\rangle&=N_k^{-1/2}\sum_{\mathbf k}e^{-i\mathbf k\cdot\mathbf R}\sum_m|\psi_{m\mathbf k}\rangle U_{mn}(\mathbf k),\\ H_{mn}(\mathbf R)&=\langle w_{m0}|H|w_{n\mathbf R}\rangle,\\ H_{\mathrm{eff}}(E)&=H_{AA}+H_{AB}(E-H_{BB})^{-1}H_{BA},\\ c_B&=(E-H_{BB})^{-1}H_{BA}c_A. \end{aligned} \]