课程笔记 · 08

8. 混合估计量、时间步与群体偏差

本课位置： 第 8/10 课。先完成前一课的推导；使用下方练习检查理解。

先修知识: DMC；协方差；相关误差

本课目标：理解下面各步的数学依据，能够手算核对例子，并说明结论依赖的条件。

1. 明确估计量采自哪个分布

2. 外推估计量的误差阶

设归一化试探态在一阶为 \(\Psi_T=\Phi+\delta\)，选择该阶 \(\langle\Phi|\delta\rangle=0\)。实厄米算符 \(A\) 定义 \(a=\langle\delta|A|\Phi\rangle\)，展开得 \(A_M=A_P+a+O(\delta^2)\)，而 \(A_V=A_P+2a+O(\delta^2)\)，故

\[ A_{\mathrm{ext}}=2A_M-A_V=A_P+O(\delta^2). \]

它去掉一阶试探态误差，不是所有偏差。forward walking 或 reptation 等纯估计方法可避开这个近似，但又需控制投影长度和相关。共享数据时，\(2A_M-A_V\) 的误差传播须保留协方差。

3. 时间步外推需要验证形式

有限步传播可给 \(E(h)=E(0)+ch+\cdots\)，也可能有其他领先阶，依赖算法与哈密顿量。不能普遍假定二次收敛。若线性范围已证实，用 \(h\) 和 \(h/2\) 可得 \(E(0)\approx2E(h/2)-E(h)\)。但两点总能连直线，不能验证线性；应采用更多步长、比较拟合区间并传播拟合误差。缩小步长时还要保持足够总虚时间，固定步数会同时缩短投影。

4. 群体控制是另一类偏差

分枝与反馈让后代及归一化相关，有限群体即使零步长也可有偏。增加群体、改变反馈或重采样选择、检查稳定性，与增加保存块数不同。证明适用范围后可尝试逆群体数拟合，但不能视为通用定律。名义 walker 数不是独立样本数，须分析分块时间序列并重复独立运行。

系统外推与统计分析须结合，但不能混为一谈。拟合残差与采样噪声相当，尤其数据点很少时，并不证明所选函数形式正确。应依据算法比较合理拟合形式，检查删去粗步长点后的敏感性；共享随机流或群体历史时还需保留相关。报告原始收敛点和外推结果，让读者能审查近似。仅发布一个外推后的精细数字，会隐藏最重要的假设与实际限制。

5. 外推算例与练习

构造线性模型 \(E(h)=-1+0.2h\) hartree，则 \(E(0.1)=-0.98\)、\(E(0.05)=-0.99\)，组合得 \(-1\)。这些是代数输入，不是执行 DMC 的结果。若两独立估计标准误均为 \(0.001\)，外推误差为 \(\sqrt5\times0.001\approx0.00224\)，反而大于任一单点误差。

练习： 混合局域能的本征态恒等式是否证明混合半径就是纯半径？

解答

不证明。能量用到了 \(H\Phi=E\Phi\)，半径乘法算符没有这个性质，仍含试探态偏差。

练习： 时间步外推后还剩哪些系统误差？

解答

群体、节点或相位、尺寸、赝势和一般观测量估计偏差仍可能存在，还包括统计及拟合不确定度。每项须有证据或明确限制。

混合估计量、时间步与群体偏差