正则分布为何出现
前置知识： 概率与基础微分
记号： \(\beta=1/(k_B T)\) 为逆温度，\(k_B\) 为 Boltzmann 常数，\(T\) 为绝对温度。因此 \(\beta E\) 无量纲。
1. 计算相容热库态数
小系统能量 \(E(x)\) 与大热库弱耦合，整体孤立。概率正比相容热库态数。在大热库能量处展开熵，导数为 \(1/T\)，得到 Boltzmann 权重。忽略高阶项对应热容有限修正。
\[
S_B=k_B\ln\Omega_B,\quad\ln\Omega_B(E_{tot}-E)\simeq\ln\Omega_B(E_{tot})-\beta E,\quad\pi(x)=\frac{e^{-\beta E(x)}}Z,\quad Z=\sum_xe^{-\beta E(x)}.
\]
2. 构型平衡分布
连续态需要相应相空间积分。若动量为可分离高斯且观测量只依赖坐标，积分动量后留下 \(\pi(R)\propto e^{-\beta U(R)}\)。简并计数不可丢弃。
3. 样本如何代替巨大求和
合适马尔可夫链可不计算 \(Z\) 而按平衡权重访问区域。对保存链平均，包括重复状态。这些移动探索构型空间，缺乏经论证的动力学模型时，步数与扫描不是秒数。需分别检查平稳、混合与相关误差。
\[
\langle A\rangle=\sum_x\pi(x)A(x),\qquad\bar A_M=\frac1M\sum_{s=1}^M A(x_s).
\]
教学示意图：由本课中的方程或算法步骤绘制；非实验数据。
图示解读： 两根柱表示两个非简并能级的精确平衡概率，分别为 0.75 与 0.25，条件为 βε=ln3。这里是解析结果；若有简并，需重新计入态数。
双能级概率算例
两个非简并态能量为 \(0,\varepsilon\)。\(\beta\varepsilon=\ln3\) 时，\(Z=4/3\)、激发概率 \(1/4\)、平均能量 \(\varepsilon/4\)。若激发级简并 \(g\)，需计全部态。这是解析平衡概率，不是采样测量。
\[
P_1=\frac{g e^{-\beta\varepsilon}}{1+g e^{-\beta\varepsilon}}.
\]
自测与局限
最可能微观态必对应最可能宏观区域吗？
答案与解析
不一定，区域可含许多单个概率较小态。
随机采样使经典模型变成量子吗？
答案与解析
不会，目标分布与估计量决定物理。
参考文献与延伸阅读
本课的推导与数值算例是原创教学构造，不是复制的文献段落或真实研究数据。