课程笔记 · 03

二聚化、能隙与边界

前置知识： 余弦能带、二阶矩阵与几何级数

1. 明确原胞与跃迁约定

正交无自旋 SSH 教学模型的原胞长度为 \(a\)，含 \(A_j,B_j\)。胞内跃迁 \(-t_1\)，\(B_j\to A_{j+1}\) 胞间跃迁 \(-t_2\)，且 \(t_1,t_2>0\)。现场能均为 \(\varepsilon_0\)。同一原胞两个轨道均带相位 \(e^{ikja}\)。固定约定对绕数与边界态至关重要。

\[ H(k)=\begin{pmatrix}\varepsilon_0&-t_1-t_2e^{-ika}\\-t_1-t_2e^{ika}&\varepsilon_0\end{pmatrix},\qquad q(k)=t_1+t_2e^{-ika}. \]

2. 推导体能带

行列式是 \(E-\varepsilon_0\) 的二次式。计算 \(|q|^2\) 得到两条能带与区边界能隙。跃迁相等时能隙闭合，是加倍原胞表示的均匀链，并非折叠产生能隙。每原胞一个无自旋电子填满下带，自旋简并电子则需两个。

\[ \begin{aligned}\det(H-EI)&=(\varepsilon_0-E)^2-|q|^2=0,\\E_\pm(k)&=\varepsilon_0\pm\sqrt{t_1^2+t_2^2+2t_1t_2\cos ka},\\E_{gap}&=2|t_1-t_2|\quad\text{at }k=\pi/a.\end{aligned} \]

3. 推导指定左端边界态

切割后左端为 \(A_1\)，首键 \(A_1\)–\(B_1\) 强度为 \(-t_1\)。减去 \(\varepsilon_0\)，寻找所有 \(B\) 振幅为零的零能态。各 \(B_j\) 方程给出递推。半无限链只有 \(r=t_1/t_2<1\) 时可归一化；振幅交替变号，概率几何衰减。

\[ \begin{aligned}-t_1A_j-t_2A_{j+1}&=0\Rightarrow A_{j+1}=-rA_j,\\A_j&=\sqrt{1-r^2}(-r)^{j-1},\quad r<1,\\\xi&=\frac{a}{\ln(t_2/t_1)}.\end{aligned} \]

4. 绕数依赖明确约定

复数 \(q(k)\) 描绘圆心 \((t_1,0)\)、半径 \(t_2\) 的圆。\(k\) 增加穿过布里渊区时，若 \(t_2>t_1\) 则顺时针绕原点。按下式约定绕数为 \(\nu=-1\)，\(t_1>t_2\) 时为 \(0\)；其他约定可使符号反转。区别依赖 \(H-\varepsilon_0I\) 的手征／子晶格对称性及固定原胞和切割。改变原胞会改变记号，必须说明实际端点。

\[ \nu=\frac1{2\pi}\int_{-\pi/a}^{\pi/a}\partial_k\arg q(k)\,dk. \]

二聚化、能隙与边界：在正文规定的模型假设下绘制的示意图

教学示意图：由本课中的方程或算法步骤绘制；非实验数据。

图示解读： 左图为两条体能带，单位 eV；右图为指定弱键左端的半无限链边界概率，随原胞编号几何衰减。交换两种跃迁保持体谱，但在固定切割下改变边界态。

算例：相同体谱，不同边界

教学参数 \((t_1,t_2)=(0.5,1.0)\) 与 \((1.0,0.5)\) eV、\(\varepsilon_0=0\) 均在 \(k=0\) 给出 \(\pm1.5\) eV、在 \(\pi/a\) 给出 \(\pm0.5\) eV，能隙为 \(1\) eV。但指定切割下仅第一组有可归一化半无限边界态：\(P(A_j)=0.75(0.25)^{j-1}\) 总和为一。有限平衡链的两个边界态一般会杂化并指数劈裂，不能都称严格零能；\(t_1=0\) 的悬挂端点才严格解耦。

对称性自测与模型局限

若现场能变为 \(\varepsilon_0\pm\Delta\)？ 能带为 \(\varepsilon_0\pm\sqrt{|q|^2+\Delta^2}\)，手征对称性破缺，零能钉扎和此绕数论证不再直接适用。最简模型忽略晶格动力学、电子相互作用与真实多轨道细节，旨在说明机制而非定量预测所有聚合物。

参考文献与延伸阅读

本课的推导与数值算例是原创教学构造，不是复制的文献段落或真实研究数据。

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