课程笔记 · 03

3. 二聚化、SSH 能带与边缘态

本课位置： 第 3/10 课。先完成前一课的推导；使用下方练习检查理解。

1. 目标与假设

SSH 模型每个晶胞有两个轨道，最近邻跳跃交替变化。本课把胞内跳跃记为 t1，胞间跳跃记为 t2。两个现场能都设为零，建立手征或子晶格对称性。它是隔离二聚化和边界效应的理想模型，不是所有聚合物或一维材料的完整理论。学习时必须同时画出晶胞定义和实际链端。

Bloch 矩阵的非对角元是两个跳跃的复相位和。求行列式得到 E²−|q|²；与复共轭相乘后，根号内为两项平方加二倍乘积余弦。正跳跃时区边界带隙为二倍两跳跃差的绝对值。二者相等时带隙闭合。在固定晶胞及边界约定下交换大小，会改变 q 在复平面绕原点的绕数。

边缘解也可以从实空间直接得到。零能时令一个子晶格振幅为零，另一子晶格的站点方程给出相邻振幅比 −t1/t2。只有该比值绝对值小于一时，指定终止方式下振幅才衰减并可归一。有限链两端的局域态还可以相互混合，使能量偏离零。因此简单看到一个递推关系还不够，必须检查边界条件和可归一性。

体拓扑与边界终止应一起解释。重新定义晶胞会改变“胞内”和“胞间”的名称，却不会改变真实链端。交错现场能破坏手征对称，可能使零能保护消失，而体带隙仍保留。任意有限矩阵中的边缘态也不自动是拓扑态：缺陷、悬挂轨道和边界势同样能够局域化电子。使用拓扑术语前要检查对称性、体不变量、终止和扰动稳定性。

2. 逐步推导

逐行阅读等式及其假设。DFT 方程默认采用原子单位，另有说明除外；紧束缚参数保持明确能量和长度单位。匕首表示共轭转置，坐标上的撇号表示独立积分变量。

\[ \begin{aligned} H(k)&=\begin{pmatrix}0&t_1+t_2e^{-ika}\\t_1+t_2e^{ika}&0\end{pmatrix},\\ \det(H-EI)&=E^2-|t_1+t_2e^{-ika}|^2,\\ E_\pm(k)&=\pm\sqrt{t_1^2+t_2^2+2t_1t_2\cos ka},\\ A_{j+1}&=-\frac{t_1}{t_2}A_j\quad(E=0\text{在合适的边缘处}). \end{aligned} \]