课程笔记 · 02

一维能带推导

前置知识： 局域基课程、傅里叶相位与 δ 函数

1. 周期正交链

取环上 \(N\) 个正交无自旋位点，间距 \(a\)，最近邻跃迁 \(-t\)、\(t>0\)，编号周期延拓。归一化 Bloch 态满足环边界条件。每个轨道、每个自旋通道在一个布里渊区内有 \(N\) 个不同波矢；两端点等价，不可双重计数。

\[ \begin{aligned}\hat H&=\varepsilon_0\sum_j|j\rangle\langle j|-t\sum_j(|j\rangle\langle j+1|+|j+1\rangle\langle j|),\\|k\rangle&=N^{-1/2}\sum_j e^{ikja}|j\rangle,\quad e^{ikNa}=1\Rightarrow k=\frac{2\pi m}{Na}.\end{aligned} \]

2. 对 Bloch 振幅作用

位点 \(j\) 的两个邻居产生因子 \(e^{-ika}\) 与 \(e^{ika}\)，和为 \(2\cos ka\)。负跃迁使最低能量位于 \(k=0\)，带宽为 \(4t\)。能带折叠不改变量子态本身。

\[ \hat H|k\rangle=[\varepsilon_0-t(e^{ika}+e^{-ika})]|k\rangle,\quad E(k)=\varepsilon_0-2t\cos ka,\quad -\pi/a\leq k<\pi/a,\quad W=4t. \]

3. 换元得到态密度

按每位点、每自旋通道归一化态密度。在无限尺寸极限，用 δ 函数恒等式对所有根求能带斜率倒数。一般带内能量有两个根。带边发散是可积范霍夫奇点，不是无限态数。有限链有离散 δ 峰，人工展宽只是绘图选择。

\[ \begin{aligned}g(E)&=\frac{a}{2\pi}\int_{-\pi/a}^{\pi/a}\delta(E-E(k))\,dk=\frac{a}{2\pi}\sum_{roots}\frac1{|dE/dk|},\\\frac{dE}{dk}&=2ta\sin ka,\\g(E)&=\frac1{\pi\sqrt{4t^2-(E-\varepsilon_0)^2}}\quad(|E-\varepsilon_0|<2t),\\g(E)&=0\quad\text{outside the band},\qquad\int g(E)dE=1.\end{aligned} \]

4. 速度与曲率

恢复 \(\hbar\) 以明确量纲。在带底展开余弦，将二次项与 \(\hbar^2k^2/(2m^*)\) 对应。有效质量是该极值附近的局域性质，不是整个能带上的恒定质量。

\[ v(k)=\frac1\hbar\frac{dE}{dk}=\frac{2ta}{\hbar}\sin ka,\quad E(k\simeq0)=\varepsilon_0-2t+ta^2k^2,\quad m^*=\frac{\hbar^2}{2ta^2}. \]

模型算例与填充

教学参数 \(\varepsilon_0=0\)、\(t=1\) eV、\(a=0.25\) nm 给出 \(W=4\) eV、\(g(0)=1/(2\pi)=0.1592\) eV\(^{-1}\)（每位点每自旋）。用 \(\hbar^2/(2m_e)=3.80998\) eV Å\(^2\) 得 \(m^*=0.6096m_e\)。无自旋半填充时 \(k_F=\pi/(2a)\)、\(E_F=0\)。存在自旋简并且无劈裂时，每位点一个电子为半填充，两个为满填充。

自测与局限

平坦能带为何 DOS 大？

答案与解析

小 \(|dE/dk|\) 使狭窄能区容纳较多波矢。

是否证明真实半填充一维材料一定是金属？

答案与解析

不能，相互作用、晶格畸变、无序和额外轨道均可改变结论。

一维能带推导：在正文规定的模型假设下绘制的示意图

教学示意图：由本课中的方程或算法步骤绘制；非实验数据。

图示解读： 左图横轴为 ka（弧度）、纵轴为以跃迁幅度归一化的能量，能带底在 k=0。右图纵轴为归一化态密度，带边为可积发散；总态数为每位点每自旋一个态。

参考文献与延伸阅读

本课的推导与数值算例是原创教学构造，不是复制的文献段落或真实研究数据。