课程笔记 · 06

6. 重要性采样扩散蒙特卡洛

本课位置： 第 6/10 课。先完成前一课的推导；使用下方练习检查理解。

先修知识: 虚时间投影；对数导数

本课目标：理解下面各步的数学依据，能够手算核对例子，并说明结论依赖的条件。

1. 变换演化振幅

令实的、与时间无关的引导函数 \(g=\Psi_T\) 在一个节点口袋内为正，定义 \(f=g\Phi\)、漂移 \(v_D=\nabla\ln g\) 和局域能 \(E_L=(Hg)/g\)。从 \(\partial_\tau f=g\nabla^2(f/g)/2-(V-E_{\mathrm{ref}})f\) 出发，乘积求导给出

\[ g\nabla^2(f/g)=\nabla^2f-2v_D\cdot\nabla f+(|v_D|^2-\nabla\cdot v_D)f. \]

再利用 \(\nabla^2g/g=\nabla\cdot v_D+|v_D|^2\) 合并得

\[ \partial_\tau f=\frac12\nabla^2f-\nabla\cdot(v_Df)-(E_L-E_{\mathrm{ref}})f. \]

扩散和漂移引导构型，局域能差控制分枝。有些文献用量子力 \(F=2v_D\)，漂移就写 \(F/2\)；转用公式前应检查约定。

2. 短步算法与局限

简单 Euler 提议为 \(R'=R+v_D(R)\Delta\tau+\sqrt{\Delta\tau}\,\xi\)，各分量标准正态。对称端点分枝近似为 \(w=\exp[-\Delta\tau(E_L(R)+E_L(R')-2E_{\mathrm{ref}})/2]\)。这些表达说明生成元，而生产算法还可能采用接受修正、有界漂移、改进格林函数和特殊节点边界处理。节点附近 \(\nabla\ln|\Psi_T|\) 可发散，不能把这个简化步骤称为精确 DMC 求解器。

3. 谐振子漂移与有限步长偏差

精确引导 \(g=e^{-x^2/2}\) 给 \(v_D=-x\)、\(E_L=1/2\)。参考能也为 \(1/2\) 时分枝恒定。连续过程 \(dx=-x\,d\tau+dW\) 的平稳方差为 \(1/2\)。Euler 离散则为 \(x'=(1-h)x+\sqrt h\xi\)。若平稳方差为 \(s^2\)，由独立噪声得 \(s^2=(1-h)^2s^2+h\)，因此

\[ s^2=\frac1{2-h},\qquad0<h<2. \]

\(h=0.1\) 时方差约为 \(0.5263\)，不同于 \(0.5\)。精确递推说明即使引导完美、没有分枝噪声，离散误差仍存在；但它不代表所有接受修正后的 DMC 实现。

4. 平稳分布与能量估计

重要性采样稳态是 \(\Psi_T\Phi_{\mathrm{FN}}\)，不是 \(|\Phi_{\mathrm{FN}}|^2\)。其中局域能均值是混合能量。局域哈密顿量及一致固定节点边界下，自伴性把该均值联系到投影本征能。一般观测量需另外构造估计量。用来调群体数量的参考能反馈也不自动就是最佳能量估计。

引导函数改变效率，在受限费米计算中，它的节点或相位还会改变允许解。理想无约束正局域问题中，满足条件的非零引导在极限控制后应给相同投影能。但有限步长、有限群体或局域化近似会重新引入引导依赖。因此比较不同引导时，应说明期待哪一种理想不变性，以及还有哪些近似存在。若结果随引导变化，不能立即全部归因于节点误差，应先区分有限算法误差与模型限制。