课程笔记 · 07

7. 费米符号、固定节点与固定相位

本课位置： 第 7/10 课。先完成前一课的推导；使用下方练习检查理解。

先修知识: 反对称性；DMC；变分界

本课目标：理解下面各步的数学依据，能够手算核对例子，并说明结论依赖的条件。

1. 符号相消是主要障碍

费米交换改变实波函数符号。正负贡献各自可能很大，而差很小。若按绝对权重抽样，观测量写成 \(\langle A\rangle=\langle sA\rangle_{|w|}/\langle s\rangle_{|w|}\)，\(s=\pm1\)。平均符号很小时，分母噪声造成比值困难。在常见广延自由能标度下，许多有限温表示的平均符号按 \(e^{-\beta N\Delta f}\) 衰减，保持相对精度可能需指数增长工作量。严重程度依赖表示和体系，并非所有 QMC 问题都相同。

2. 固定节点是边界值问题

试探节点面为 \(\mathcal N_T=\{R:\Psi_T(R)=0\}\)。固定节点投影在节点口袋内求局域薛定谔方程，边界取 Dirichlet 零条件。若口袋和符号按费米反对称性一致拼接，允许函数空间受到限制。适当实局域哈密顿量下，限制变分空间给出

\[ E_{\mathrm{FN}}\ge E_0^{\mathrm{fermion}}. \]

精确节点在理想投影极限恢复费米基态能。更多采样不会移动边界。单独改善正 Jastrow 振幅可提高效率，但不改变节点。节点偏差是系统近似，不包含在通常的采样误差棒里。

3. 一维边界检查

谐振子奇对称扇区最低态为 \(\psi_1=x e^{-x^2/2}\)，能量 \(3/2\)，节点 \(x=0\)。原点零边界把实轴分成两个半轴，各半轴最低 Dirichlet 解具有该能量。无约束正基态能量为 \(1/2\)，属于偶对称。该例说明边界如何限定对称扇区，不是 QMC 数值测量。多电子构型空间中的节点几何则复杂得多。

4. 复波函数与固定相位

写 \(\Psi=\rho e^{i\theta}\)。无矢势的简单哈密顿量中，动能二次型含 \(|\nabla\rho|^2+\rho^2|\nabla\theta|^2\)。固定试探相位后，其梯度相当于额外势，再优化 \(\rho\)。固定相位推广固定节点；磁矢势存在时必须用规范一致的协变导数。复数扭转边界计算应说明相位处理，不能含糊称为固定节点。

非局域赝势与局域化近似可能破坏朴素的上界声明。适当 T-moves 等具有变分动机的处理需要自身条件与收敛分析，不能把所有赝势 DMC 都归于同一上界定理。

变分不等式本身并不给出离精确答案还有多远。没有独立参考或受控改善函数族时，节点偏差大小可能未知。极小采样误差只能说明在既定约束内精确。应在一致近似下比较试探函数族、对称性与能量差，并明确报告未解决的节点不确定性，而不是凭空给它一个数值误差棒。判断节点质量需要物理和变分证据，不能只根据 walker 数或运行时间。