课程笔记 · 05

5. 虚时间投影与分枝

本课位置： 第 5/10 课。先完成前一课的推导；使用下方练习检查理解。

先修知识: 算符指数；本征态展开

本课目标：理解下面各步的数学依据，能够手算核对例子，并说明结论依赖的条件。

1. 从振荡演化到指数过滤

实时演化给本征态乘 \(e^{-iE_nt}\)，不改变其幅度。令 \(t=-i\tau\)，得到虚时间算符 \(e^{-\tau(H-E_{\mathrm{ref}})}\)。初态 \(\Phi_0=\sum_nc_n\Psi_n\) 演化为

\[ \Phi(\tau)=\sum_nc_ne^{-\tau(E_n-E_{\mathrm{ref}})}\Psi_n. \]

当 \(c_0\ne0\) 且谱结构允许投影时，相对激发振幅按 \(e^{-\tau(E_n-E_0)}\) 衰减。若初态与目标严格正交，该态不会凭空出现。参考能只调归一化，不改变相对过滤。简并基态、小能隙和受限对称扇区都须专门解释。虚时间不是电子轨迹的真实物理时钟。

2. 薛定谔算符中的扩散和反应

\(H=-\nabla_R^2/2+V(R)\) 给出

\[ \partial_\tau\Phi=\frac12\nabla_R^2\Phi-[V(R)-E_{\mathrm{ref}}]\Phi. \]

拉普拉斯对应扩散生成元，第二项控制振幅生长或消失。短步自由扩散核为高斯，每个坐标方差为 \(\Delta\tau\)。简单分裂用 \(e^{-\Delta\tau(V-E_{\mathrm{ref}})}\) 近似势能权重。库仑势奇异，使无引导算法低效而不稳定，因此下一课引入重要性采样。由于动能与势能算符不对易，有限步长算符分裂只是近似。

3. 分枝的含义

正权重可用 walker 群表示：先扩散构型，计算权重，再按权重复制或删除代表。也可采用带权 walker 与重采样。群体代表振幅，并非电子数；每个 walker 仍包含全部 \(N\) 个电子坐标。用反馈稳定群体数量会引入有限群体效应，后代之间也因共同祖先而相关。因此不能把名义 walker 数直接当成独立样本数。

4. 两能级过滤算例

设初始 \(c_1/c_0=1\)，能隙 \(\Delta=0.5\) hartree，虚时间 \(\tau=4\) inverse hartree。激发与基态振幅比为 \(e^{-2}\approx0.1353\)，平方权重比为 \(e^{-4}\approx0.0183\)。振幅与概率指数的区别不可忽略。这是解析模型，没有运行 walker 模拟。要使振幅比低于 \(10^{-3}\)，需 \(\tau>\ln(1000)/\Delta\approx13.82\) inverse hartree。

投影长度与群体大小作用不同。长度决定初始激发分量是否衰减；群体大小决定振幅如何被代表，以及反馈产生的相关程度。大群体但时间太短仍可能保留初态，小群体长时间又可能保留控制偏差。因此比较不同步长时，热化既应报告步数，也应报告虚时间单位。更长运行与更大群体不是同一个收敛方向，设计检查时须分别变化，避免把两种效果混在一起。