课程笔记 · 05

5. 蜂窝晶格能带与 Dirac 近似

本课位置： 第 5/10 课。先完成前一课的推导；使用下方练习检查理解。

1. 目标与假设

蜂窝晶格不是单站点 Bravais 晶格，一个原胞包含两个站点。最简石墨烯模型每站点保留一个 pz 轨道，采用正交基、实最近邻跳跃，并忽略自旋轨道与电子相互作用。此时自旋只提供两个相同副本，不改变展示的二乘二矩阵。模型主要用于理解电荷中性附近的 pi 能带。

每个 A 轨道连接三个 B 邻居，键向量对应的 Bloch 相位相加形成 f(k)。本征值代数与 SSH 的二乘二矩阵相似，但波矢有两个分量。能量为跳跃乘相位和绝对值的正负值。布里渊区角点处三个相位可取单位及两个三次单位根，和为零。因此两带接触来自晶格相位结构，而不是随意把某个参数调成零。

在角点附近写成 K+q，将指数展开到 q 的一阶。常数项相加为零，只留下 qx 与 qy 的线性复组合。选择合适轨道相位后，可写成 Pauli 矩阵的 Dirac 形式。这里 Pauli 矩阵作用在两个子晶格振幅上，不直接代表真实电子自旋。不同谷的符号与规范相关。费米速度由键长和跳跃确定，并不是光速。

交错现场能产生 Δσz，能量变为正负根号，打开二倍 |Δ| 的带隙；两站点相同现场能只整体移动能带。远邻跳跃可破坏粒子空穴对称，应变改变各键跳跃并改变低能结构。Dirac 近似只在带接触附近且波长远大于晶格常数时有效，不能复现整个布里渊区，也不自动提供散射寿命。

2. 逐步推导

逐行阅读等式及其假设。DFT 方程默认采用原子单位，另有说明除外；紧束缚参数保持明确能量和长度单位。匕首表示共轭转置，坐标上的撇号表示独立积分变量。

\[ \begin{aligned} f(\mathbf k)&=\sum_{j=1}^3e^{i\mathbf k\cdot\boldsymbol\delta_j},\\ H(\mathbf k)&=\begin{pmatrix}0&tf(\mathbf k)\\tf^*(\mathbf k)&0\end{pmatrix},\quad E_\pm=\pm|tf|,\\ f(\mathbf K+\mathbf q)&\simeq i\sum_je^{i\mathbf K\cdot\boldsymbol\delta_j}\mathbf q\cdot\boldsymbol\delta_j,\\ H_D&=\hbar v_F(q_x\sigma_x+q_y\sigma_y),\quad E_\pm\simeq\pm\hbar v_F|\mathbf q|. \end{aligned} \]