课程笔记 · 08

8. 簇更新、副本交换与哈密顿量提议

本课位置： 第 8/10 课。先完成前一课的推导；使用下方练习检查理解。

先修知识: 平衡；遍历性；系综

本课目标：理解下面各步的数学依据，能够手算核对例子，并说明结论依赖的条件。

1. 改提议核而保持目标

探索缓慢时，可改变转移核而不改变物理答案。若每个核都保持目标平稳，以与状态无关的概率混合它们仍保持平稳；依次组合也如此，但组合后的整体未必可逆。按当前状态选择核需要额外分析，因为选择概率可能成为被漏掉的提议比值。

2. 伊辛簇键概率的来源

零磁场铁磁 \(J>0\) 的键权重可写成

\[ e^{\beta J s_is_j}=e^{\beta J}[(1-p)+p\,\delta_{s_i,s_j}],\qquad p=1-e^{-2\beta J}. \]

自旋相同时括号为一；相反时括号为 \(e^{-2\beta J}\)，乘后得到 \(e^{-\beta J}\)。由此建立自旋与键的联合表示，在同向自旋间随机连键，然后整体翻转簇。大尺度相关区域可以一起变化，从而减弱该模型的临界慢化。有挫折、反铁磁、外场或不同哈密顿量时需要修改构造，不能机械套用同一规则。

3. 副本交换接受率

两个副本逆温分别为 \(\beta_i,\beta_j\)，联合权重为 \(e^{-\beta_iU(R_i)-\beta_jU(R_j)}\)。交换构型后指数差为 \((\beta_i-\beta_j)[U(R_i)-U(R_j)]\)，因此对称交换提议接受率为

\[ \alpha_{ij}=\min\{1,\exp[(\beta_i-\beta_j)(U_i-U_j)]\}. \]

若 \(\beta_i=2,\beta_j=1,U_i=0,U_j=3\)，采用一致单位时比值为 \(e^{-3}\)。把高能构型放进低温副本不利。每个温度保留自己的目标分布，不能把所有温度的观测混合为一个平均。温度间距须让能量分布重叠，并检查副本是否往返整个温度梯子；仅有许多相邻交换不保证全局充分探索。

4. 哈密顿量蒙特卡洛

目标 \(\pi(R)\propto e^{-U_*(R)}\) 可微时，引入辅助高斯动量，定义 \(H_*=U_*+p^TM^{-1}p/2\)。可逆且保体积的蛙跳积分，再加动量反转，形成提议，以 \(\min(1,e^{-\Delta H_*})\) 修正积分误差。动量刷新和 Metropolis 修正都是算法必要部分。这里轨迹时间是采样参数，不一定对应真实动力学。积分不佳、约束坐标、不可微目标或不连通支持都需要专门处理。

效率应按目标观测量在给定成本下的不确定度比较。一次簇更新与一次粒子移动的工作量不同，直接比较接受百分比没有意义。副本交换还把部分计算投入高温状态以帮助探索，这些状态并非全部用于低温平均。同一种方法可能很适合一个慢坐标，却不适合另一个。应同时保留观测量相关的误差和混合诊断，不能只选全局速度或接受率作为唯一评价标准。