课程笔记 · 06

6. 态计数、态密度与填充

本课位置： 第 6/10 课。先完成前一课的推导；使用下方练习检查理解。

1. 目标与假设

态密度统计单位能量区间内可用态的数量。它本身不是电子数，必须乘占据后积分才得到电子数量。应明确按晶胞、体积还是整个体系归一，以及是否包括自旋。相同能带若用不同归一约定，会得到看似不同的高度，因此比较曲线前需要先统一单位与权重。

对正交最近邻链，将均匀波矢测度换成能量测度。delta 函数换元公式要求在每个根处除以能量斜率绝对值。带内一般有两个波矢根，分别位于极值两侧。导数是 −2ta sin ka，再用正弦平方与余弦平方关系即可得到反平方根公式。带边虽然发散，但可积，并不表示有无限多个量子态。

整个带内积分得到每晶胞每自旋一个态。考虑自旋简并，一条带最多容纳每晶胞两个电子。具有粒子空穴对称的链在半填充时化学势位于现场能。带变窄使每单位能量的态密度增大，但总态数不变。理想平带可产生 delta 峰，温度、无序和展宽会改变实际曲线形状。

投影态密度把谱权重分配到选定轨道。非正交基组中必须说明投影与度量定义，不能把它看作唯一的原子可观测量。直方图或高斯展宽在平滑性与分辨率之间折衷，积分仍需满足预期态计数。图形很平滑可能掩盖波矢采样不足；展宽过小则可能出现由采样而非物理导致的尖峰。

2. 逐步推导

逐行阅读等式及其假设。DFT 方程默认采用原子单位，另有说明除外；紧束缚参数保持明确能量和长度单位。匕首表示共轭转置，坐标上的撇号表示独立积分变量。

\[ \begin{aligned} \rho(E)&=\frac{a}{2\pi}\int_{-\pi/a}^{\pi/a}\delta(E-E(k))dk,\\ \delta(g(k))&=\sum_{k_i:g(k_i)=0}\frac{\delta(k-k_i)}{|g'(k_i)|},\\ \rho(E)&=\frac1{\pi\sqrt{4t^2-(E-\epsilon_0)^2}},\quad |E-\epsilon_0|<2|t|,\\ n_e&=\int\rho(E)f(E)dE\quad\text{每晶胞每自旋}. \end{aligned} \]