课程笔记 · 10

10. 可复现的蒙特卡洛研究

本课位置： 第 10/10 课。先完成前一课的推导；使用下方练习检查理解。

先修知识: 前面的蒙特卡洛课程

本课目标：理解下面各步的数学依据，能够手算核对例子，并说明结论依赖的条件。

1. 把物理问题变成采样约定

提出具体问题，例如有限方格伊辛体系的平均能如何随温度变化，以及估计可信度如何。明确晶格大小、边界、哈密顿量、单位、磁场、系综、提议核、记录节奏和观测量定义。缺少这些约定，数值输出就不是可解释的科学结果。输入、随机数算法、种子、软件版本和分析脚本应与输出一起保存；同时报告尝试数与扫描数，才能比较计算成本。

2. 先验证可穷举的小体系

两个自旋只有一条键，零场时 \(E=-Js_1s_2\)。两个同向态能量为 \(-J\)，两个反向态能量为 \(J\)，因此

\[ Z=2e^{\beta J}+2e^{-\beta J}=4\cosh(\beta J),\qquad \langle E\rangle=-J\tanh(\beta J). \]

二阶矩恒为 \(J^2\)，方差为 \(J^2\operatorname{sech}^2(\beta J)\)。对均匀单自旋提议建立四状态矩阵，检查行和为一、\(\pi P=\pi\) 和每一对状态的平衡流。这种确定性验证先测试概率逻辑，再面对采样噪声。本页给出的是项目设计与解析基准，没有报告执行随机模拟。

3. 实现验证不等于大体系收敛

四状态通过测试只证明该测试范围内实现正确，并不证明大晶格已经收敛。大体系需采用分散起点、能量和磁化迹线、分块、独立重复以及明确的尺寸分析。增加热化和总长度后，结果不应超出合理不确定度系统漂移。接受率和速度只是诊断，不是通用及格阈值。比较局部与簇更新时，应对同一目标和同一观测量比较单位计算成本的误差。

4. 建立完整误差预算

区分程序错误、初态偏差、有限采样误差、有限尺寸效应和模型不足。通常只有有限采样误差随新增独立工作量的平方根下降。很小误差棒仍可能伴随错误哈密顿量或困住的链。相变附近尺寸舍入和临界慢化同时重要，但属于不同问题。非线性量应采用整块重算；用于调参的数据重复使用也要说明。

报告应包含物理定义、验证模型、收敛证据、误差方法、链长、块长、独立重复和限制。只有来源于保存的真实运行数据，图才可标成测量；解析或示意图必须明确说明。独立两次运行的能量差标准误为 \(\sqrt{s_1^2+s_2^2}\)，但共享随机数或重加权带来协方差，此时不能直接套用独立公式。

另一个有用的确定性测试是穷举每次提议，比较局部能量差与完整重算能量，并确认同一自旋翻转两次恢复原态和原能量。这能独立于接受率发现邻居索引和键重复计数错误。随机实现之间应比较最终分布，而不是要求不同生成器或并行划分产生逐步相同轨迹。数学可复现、统计可复现和逐位可复现是不同层次，报告时应分清具体实现达到了哪一层。