课程笔记 · 05

5. 遍历性、能垒与收敛

本课位置： 第 5/10 课。先完成前一课的推导；使用下方练习检查理解。

先修知识: 转移矩阵；特征值

本课目标：理解下面各步的数学依据，能够手算核对例子，并说明结论依赖的条件。

1. 平衡分布与到达平衡是两回事

有限状态链的不可约性表示任何状态都可通过有限次允许移动到达其他状态。非周期性排除强制的多步返回周期。二者共同保证平稳分布唯一，并从任意初始分布收敛。连续空间需要相应的测度条件，不能不加说明地套用有限矩阵定理。细致平衡只证明目标分布平稳，并没有证明不可约性、非周期性或实际计算时间内的充分混合。

2. 两状态弛豫的精确解

取 $P=\begin{pmatrix}1-a&a\\b&1-b\end{pmatrix}$，其中 $a,b>0$。平衡流相等给出 $\pi_B=a/(a+b)$。若第 $t$ 步处于 $B$ 的概率为 $p_t$，则

\[ p_{t+1}=a(1-p_t)+(1-b)p_t=a+(1-a-b)p_t, $$ $$ p_t-\pi_B=(1-a-b)^t(p_0-\pi_B). \]

第二特征值 $\lambda=1-a-b$ 控制弛豫。当 $a=b=0.001$ 时，$\lambda=0.998$，特征衰减时间为 $-1/\ln\lambda\approx499.5$ 步。只运行二十步可能产生很多输出，却仍保留严重初态偏差。当 $a=b=1$ 时，$\lambda=-1$，链永远振荡；当二者均为零时，状态空间分成互不连通的两个部分。

3. 采样瓶颈通常是自由能垒

多体体系在两种相之间移动，可能必须穿越构型空间中极少出现的区域。局部移动在各自能谷内接受率良好，仍可能从不跨越瓶颈。相关障碍往往同时包含能量和熵，即自由能垒，而不是某一个构型的最高势能。临界点附近长波涨落弛豫缓慢，簇更新或非局部提议可以改变采样动力学，却不改变平衡物理目标。

4. 如何积累收敛证据

采用分散起点的独立链，除能量外还检查缓慢序参量，比较前后时间窗，并确认是否访问竞争区域。机械地删去固定百分比并不证明热化，应检查增加热化长度与总长度后结果是否稳定。调整步长最好放在独立调参阶段；生产阶段任意改变提议核可能破坏普通平稳链误差分析。专门的自适应算法需要专门的收敛条件。若多条链都停在同一个能谷，彼此一致也可能只是共同遗漏另一部分空间。

最慢弛豫模式可能几乎不反映在能量上。两个能谷可以平均能相近，却具有相反磁化或不同分子构象。因此仅观察能量可能遗漏控制平衡的慢模式。诊断量应联系科学问题和预期能垒；初始状态要有意跨越这些障碍。多条链若只是同一结构的微小扰动，即使结果一致也未必提供充分证据。应让初态选择本身成为收敛检查的一部分。