4.2 能带与有效质量
本课输入均为未执行的教学示例，数值是待测试的起点；图为原创示意，不是实际计算结果。使用授权 VASP 和 PAW 数据，替换所有占位符，记录程序版本并自行检验收敛。
4.2.1 模型、单位与记录
能量用 eV，长度用 Å，力用 eV/Å；1 kbar = 0.1 GPa。明确每原子、每分子、每原胞或每计算胞的归一化。记录 PAW 名称、版本、ZVAL、ENMAX 及允许的哈希；不分发 POTCAR。SCF 收敛只验证所选电子问题，目标物性的收敛仍需单独检查。
原创示意图；曲线与空白数据区用于说明或填写真实结果，不代表已运行计算。
4.2.2 完整案例：步骤、解释与检验
为什么做，怎么读
能带图表示电子能量随晶体动量变化的关系，不是电子在晶体中的运动轨迹。高对称路径只是三维布里渊区的一组切线，适合观察色散、简并及可能的带隙，却可能漏掉偏离路径的极值。因此，图上最低的导带点不一定就是整个布里渊区的导带底。
建议从非磁性金刚石结构硅开始，先完成结构优化，并明确所用原胞约定。原胞与常规胞的倒空间坐标、能带折叠方式不同，即使它们描述同一种晶体。应根据实际 POSCAR 的晶胞和对称性生成路径，保留高对称点的定义，不要直接照搬另一种晶胞的路径。路径约定
分步操作
- 在已收敛的规则 k 网格上做静态 PBE 自洽计算，设置
NSW=0、LCHARG=.TRUE.，保留足够空带，并记录自洽费米能和 CHGCAR。 - 新建能带目录，复制相同 POSCAR、授权 POTCAR 和 CHGCAR，将 KPOINTS 改为与该晶胞匹配的线模式路径。
- 应用上面的 LDA/GGA 输入增量。
ICHARG=11固定已收敛电荷密度；ISTART=0避免假定旧 WAVECAR 与新 k 点列表兼容。线模式不能替代生成电荷密度的规则网格。 - 对含 d、f 通道的体系，源自洽计算与能带重启均应设置足够的 LMAXMIX。只在第二步增大该值，无法补回已经丢失的 PAW 单中心占据信息。ICHARG、LMAXMIX
VASP 6.3.0 起可用 KPOINTS_OPT 放置额外路径，普通 KPOINTS 保留自洽网格。后处理应读取对应 OPT/HDF5 数据。不要把路径计算得到的费米能当成可靠参考，可使用规则网格结果或明确说明以价带顶为零。杂化泛函和 meta-GGA 另有要求，不能机械套用该固定密度流程。KPOINTS_OPT、DFT 能带
有效质量不是“看起来弯得多”
在平滑、孤立的导带极小值附近，沿选定笛卡尔方向拟合 \(E(q)=E_0+aq^2\)。当 q 的单位为 Å⁻¹、E 为 eV 时，有 \(m^*/m_e=3.80998/a\)，也可写成 \(7.61996/(d^2E/dq^2)\)。价带顶的电子曲率为负，通常取其绝对值定义正的空穴质量，并在报告中说明符号约定。
拟合前必须把分数倒格坐标转换为含 2π 的笛卡尔波矢。若实空间晶格矢量按行组成矩阵 A，则倒格矩阵为 \(\mathbf B=2\pi(\mathbf A^{-1})^{\mathsf T}\)，位移转换为 \(\mathbf q_{\mathrm{cart}}=\mathbf q_{\mathrm{frac}}\mathbf B\)。完整质量张量需要三维局部二次拟合及交叉项，一条路径只能得到一个方向的曲率。简并、反交叉和非抛物性可能使单带拟合失效。穿过交叉点时应跟踪轨道特征或连续子空间，而非只认能带编号。effmass
检验与练习
将原始能量点与拟合曲线同时画出，改变拟合窗口和动量步长，并检查极值位置是否稳定。残差很小不代表物理正确：若换个窗口质量就大变，可能尚未进入抛物区。报告晶体方向、窗口宽度、拟合阶数、结构和泛函；有效质量小也不能单独证明迁移率高，因为散射同样重要。
练习：先在规则网格定位候选带边，再局部加密，沿三个独立笛卡尔方向拟合。比较两个窗口，并解释差异来自各向异性、数值误差还是非抛物性。提交收敛图与带边坐标，不预设必须得到某个文献数字。
4.2.3 未执行输入与分析框架
本课输入均为未执行的教学示例，数值是待测试的起点；图为原创示意，不是实际计算结果。使用授权 VASP 和 PAW 数据，替换所有占位符，记录程序版本并自行检验收敛。
4.2.3.1 输入片段 1
# Semilocal LDA/GGA band-path delta; not for hybrid functionals
NSW = 0
IBRION = -1
ISTART = 0
ICHARG = 11
ISMEAR = 0
SIGMA = 0.02
LORBIT = 11
LCHARG = .FALSE.
LWAVE = .FALSE.
# NBANDS = <enough bands for the desired energy range>