薛定谔动力学与无限深势阱
前置知识： 态与测量、二阶导数与积分
1. 时间演化与定态密度
孤立非相对论粒子的薛定谔方程给出幺正演化。哈密顿量不显含时间时，本征函数带相位演化。单个本征态的相位在密度中抵消，叠加态的相对相位则保留。无限势阱是理想化限制，不是真实分子墙壁。
\[
i\hbar\partial_t\psi=\hat H\psi,\qquad\psi_n(x,t)=\psi_n(x)e^{-iE_nt/\hbar}.
\]
2. 同时施加两个边界
\(0<x<L\) 内势为零，外部无限高。通解为 \(A\sin kx+B\cos kx\)。左边界消去 \(B\)，右边界要求 \(\pi\) 的整数倍。\(n=0\) 给出不可归一化的零函数。量子化来自两个边界，不是额外的经典规则。
\[
\psi^{\prime\prime}+k^2\psi=0,\quad\psi(0)=\psi(L)=0\Rightarrow k_n=n\pi/L,\quad n=1,2,\ldots
\]
3. 归一化并求能量
正弦平方积分为 \(L/2\)，从而确定振幅。每个波函数有 \(n-1\) 个内部节点。能量按 \(n^2/L^2\) 变化，宽度加倍使所有能量变为四分之一。定态密度并不均匀。
\[
1=|A|^2\int_0^L\sin^2(n\pi x/L)dx=|A|^2L/2,\quad\psi_n=\sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L),\quad E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}.
\]
4. 相对相位产生变化密度
等权叠加两个实本征函数。对复数和取模平方，干涉项频率为能量差除以 \(\hbar\)。正交性使干涉项积分为零，因此局域密度变化时总概率仍为一。
\[
\psi=\frac{\psi_1e^{-iE_1t/\hbar}+\psi_2e^{-iE_2t/\hbar}}{\sqrt2},\quad|\psi|^2=\tfrac12(\psi_1^2+\psi_2^2)+\psi_1\psi_2\cos[(E_2-E_1)t/\hbar].
\]
教学示意图：由本课中的方程或算法步骤绘制；非实验数据。
图示解读： 左图横轴为位置 x/L，纵轴为无量纲带符号波函数；青、橙、紫依次表示 n=1、2、3。右图为基态概率密度，不应把波函数负号理解为负概率。
概率积分算例
对基态积分势阱中间一半区域，结果大于 \(1/2\)，因为密度集中在中央。这是精确解析教学模型，并非分子模拟。
\[
P(L/4<x<3L/4)=\frac2L\int_{L/4}^{3L/4}\sin^2(\pi x/L)dx=\frac12+\frac1\pi\simeq0.8183.
\]
自测与答案
为何没有零能态？
答案与解析
同时满足两边界的只能是零函数。
高 \(n\) 间距变小吗？
答案与解析
不会，\(E_{n+1}-E_n=(2n+1)E_1\)。
能量本征定态密度随时间变化吗？
答案与解析
本例时间无关哈密顿量下整体相位抵消，不会。
参考文献与延伸阅读
本课的推导与数值算例是原创教学构造，不是复制的文献段落或真实研究数据。