课程笔记 · 04

4. 优化试探态并避免拟合噪声

本课位置： 第 4/10 课。先完成前一课的推导；使用下方练习检查理解。

先修知识: VMC；导数；协方差

本课目标：理解下面各步的数学依据，能够手算核对例子，并说明结论依赖的条件。

1. 参数同时改变估计量和分布

实试探态依赖参数 \(\theta\)，定义 \(O_k=\partial_{\theta_k}\ln|\Psi_T|\)。改变参数会同时改变概率密度和局域能，所以只对固定样本平均求导、忽略分布变化一般错误。从瑞利商出发，归一化为 \(N=\int\Psi_T^2\)，自伴性给出 \(\partial_k\int\Psi_TH\Psi_T=2\int(\partial_k\Psi_T)H\Psi_T\)。用商求导得

\[ \frac{\partial E_V}{\partial\theta_k}=2\left[\langle O_kE_L\rangle-\langle O_k\rangle\langle E_L\rangle\right]. \]

要求实函数族可微且边界条件允许交换求导、积分和哈密顿量操作。参数相关节点与奇异项需特别谨慎。协方差形式把优化与采样统计直接联系起来。

2. 高斯能量导数核对

\(\Psi_a=e^{-ax^2/2}\) 时，\(O_a=-x^2/2\)，\(E_L=a/2+(1-a^2)x^2/2\)。于是协方差为 \(-(1-a^2)\operatorname{Var}(x^2)/4\)。代入 \(\operatorname{Var}(x^2)=1/(2a^2)\) 并乘二，得到 \((1-a^{-2})/4\)，与对 \(E_V=(a+a^{-1})/4\) 直接求导相同。这个解析关系能严格检查符号和二倍因子。

3. 能量与方差目标不同

方差最小化使用 \(\sigma_L^2=\langle(E_L-E_V)^2\rangle\)，促使波函数接近本征态并改善采样稳定性；能量最小化寻找给定函数族中最低期望。精确激发态也有零方差，因此只最小化方差不能识别基态。改变节点的参数与正 Jastrow 参数作用不同，应确认对称扇区，并用独立验证样本比较最终能量。

4. 线性化与随机矩阵

在当前参数附近展开 \(\Psi(\theta+\delta\theta)\approx\Psi+\sum_k\delta\theta_k\partial_k\Psi\)。在局部导数空间最小化瑞利商，得到广义本征方程 \(Hc=ESc\)，重叠和哈密顿矩阵元由随机采样估计。近线性依赖使 \(S\) 病态；正则化、参数尺度调整、控制步长和新样本有助避免噪声驱动的不稳定。这是概念推导，具体线性方法实现还需遵守自身矩阵估计约定。

相关采样可用 \(|\Psi_{\theta'}|^2/|\Psi_\theta|^2\) 比较邻近参数，但大幅变化可能失去重叠或产生极端权重。调参与最终报告不能不加说明地重复使用同一批数据，因为选最小值会引入选择偏差。平滑优化轨迹本身也不证明收敛。

优化不确定度还影响科学比较。测试很多参数组并选最低带噪能量，会让被选的样本均值向下偏，即使每个精确试探期望都满足变分界。选择后应重新独立测能，跟踪能量与方差，并检查差异是否在独立优化中持续。优化失败是所用流程的实际限制，不是新的物理效应。遇到不稳定时，应先诊断样本量、方向冗余和步长，再把差异解释为波函数改善。